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很多人認爲命題的否定就是否定命題的結論,所以“若p則q”的否定就是“若p則¬q ”,其實這種理解是錯誤的。如果按照這種理解,上述命題的否定就是“若(x-1)(x+2)=0,則x≠1”,這個結果顯然是錯誤的,因爲這個命題與原命題都是假命題。 我們來看看教材中“命題的否定”的定義: 人教A版:對一個命題p全盤否定,就得到一個新的命題,記作¬p,讀作“非p”或“p的否定”。 人教B版:對命題p加以否定,就得到一個新的命題,記作¬p,讀作“非p”或“p 的否定”。 根據上述定義及符号語言可以看出,命題的否定是對整個命題的否定,而非隻對其結論進行否定。因此這個命題的否定就應該是“並非對(x∈R,若(x-1)(x+2)=0,則x =1”,也即“存在x∈R,使(x-1)(x+2)=0,且x≠1”。 此外,在概念複習中還要避免模式化,避免機械套用有關結論。
比如點到直線距離公式的教學,包括教科書在内基本上都舍棄瞭解析法,即“求出過點P與直線l垂直的直線PQ的方程,然後求出點Q的坐标,最後利用兩點間距離公式求出PQ的長”的方法,普遍認爲上述方法雖然思路自然,但具體運算需要一定技巧。 其實利用上述方法,運算量並不是大到不可接受,如果方法得當,學生一定對解析法印象深刻,並會在有關問題中應用解析法解決問題。這也正體現瞭解析幾何的本質,即利用代數方法(方程、坐标)解決幾何(曲線)的有關問題。
設問1:如何求未知數ω的值?(設法得到關於ω的方程) 設問2:兩個未知數需要兩個方程才可能求出它們的值,而此題我們隻能得到一個方程,怎麽辦? 設問3:注意到ω是正整數,因而通過範圍就可以求出其值,那麽如何能得到關於ω 的不等式呢? 通過以上設問,應該容易想到通過函數的圖像可以得到關於周期的不等式,從而得到關於ω的不等式,問題得以解決。
有人會覺得此題有超綱的嫌疑(因爲有二階導數的影子),但其實恰恰這是一道“好題”,因爲它充分體現瞭導數的工具作用,第(2)小題的3種解法中,無論哪種方法都是利用導數作工具,充分研究瞭函數的性質,特别是單調性,並利用函數的這些性質解決問題。
這個題目雖然難度不大,但是立意新穎,富有創新精神,特别是巧妙地利用我國優秀的傳統文化設計試題,不僅使學生對我國的傳統文化有所瞭解,同時也考查瞭學生的各種能力,如閱讀能力、思維能力、運算能力、數據處理能力等,很好地滲透瞭數學的核心素養。
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